Question

15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD為AB邊上的中線．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．連接BF，M，N分別為線段AF，BF的中點，連接MN．
（1）如圖1，點F在△ABC內，求證：CD=MN；
（2）如圖2，點F在△ABC外，依題意補全圖2，連接CN，EN，判斷CN與EN的數量關系與位置關系，并加以證明；
（3）將圖1中的△AEF繞點A旋轉，若AC=a，AF=b（b＜a），直接寫出EN的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形的中位線即可；
（2）構造出△EMN≌△DNC進而利用互余即可得出結論；
（3）借助（2）的結論，先判斷出點N是以點D為圓心，$\frac{b}{2}$為半徑的圓上，即可得出結論．

解答 解：（1）證明：在Rt△ABC中，
∵CD是斜邊AB上的中線．
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
在△ABF中，點M，N分別是邊AF，BF的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=MN．

（2）答：CN與EN的數量關系CN=EN，
CN與EN的位置關系CN⊥EN．
證明：連接EM，DN，如圖．
與（1）同理可得 CD=MN，EM=DN．
在Rt△ABC中，CD是斜邊AB邊上的中線，
∴CD⊥AB．
在△ABF中，同理可證EM⊥AF．
∴∠EMF=∠CDB=90°．

∵D，M，N分別為邊AB，AF，BF的中點，
∴DN∥AF，MN∥AB．
∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．
∴∠FMN=∠BDN．
∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．
∴∠EMN=∠NDC．
∴△EMN≌△DNC．
∴CN=EN，∠1=∠2．
∵∠1+∠3+∠EMN=180°，
∴∠2+∠3+∠FMN=90°．
∴∠2+∠3+∠DNM=90°，
即∠CNE=90°．
∴CN⊥EN．
（3）點N是以點D為圓心，$\frac{b}{2}$為半徑的圓上，
在Rt△ABC中，AC=BC=a，
∴AB=$\sqrt{2}$a，
∵CD為AB邊上的中線．
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴CN最大=CD+$\frac{b}{2}$=$\frac{\sqrt{2}a+b}{2}$，CN最小=CD-$\frac{b}{2}$=$\frac{\sqrt{2}a-b}{2}$
由（2）知，EN=CN，
∴EN最大=$\frac{\sqrt{2}a+b}{2}$，EN最小=$\frac{\sqrt{2}a-b}{2}$
即：EN的最大值為$\frac{{\sqrt{2}a+b}}{2}$，最小值為$\frac{{\sqrt{2}a-b}}{2}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的中線，三角形的中位線，全等三角形的判定和性質，圓的性質，解本題的關鍵是構造全等三角形，是一道考查知識點比較多的綜合題．