Question

（2013•雨花臺區一模）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B、C重合），現將△PCD沿直線PD折疊，使點C落到點C′處；作∠BPC′的角平分線交AB于點E．設BP=x，BE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：連接DE，根據折疊的性質可得∠CPD=∠C′PD，再根據角平分線的定義可得∠BPE=∠C′PE，然后證明∠DPE=90°，從而得到△DPE是直角三角形，再分別表示出AE、CP的長度，然后利用勾股定理進行列式整理即可得到y與x的函數關系式，根據函數所對應的圖象即可得解．

解答：解：如圖，連接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折疊得到，
∴∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′=

1

2

×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB-BE=3-y，CP=BC-BP=5-x，
在Rt△BEP中，PE²=BP²+BE²=x²+y²，
在Rt△ADE中，DE²=AE²+AD²=（3-y）²+5²，
在Rt△PCD中，PD²=PC²+CD²=（5-x）²+3²，
在Rt△PDE中，DE²=PE²+PD²，
則（3-y）²+5²=x²+y²+（5-x）²+3²，
整理得，-6y=2x²-10x，
所以y=-

1

3

x²+

5

3

x（0＜x＜5），
縱觀各選項，只有D選項符合．
故選D．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象，勾股定理的應用，作出輔助線并證明得到直角三角形，然后在多個直角三角形應用勾股定理是解題的關鍵．