Question

⊙O與⊙A相交于C、D兩點，A點在⊙O上，過A點的直線與CD、⊙A、⊙O交于F、E、B．求證：AE²=AF•AB．

Answer 1

解：連接AC，BC．
∵AE⊥CD，
∴弧AC=弧AD．
在⊙O中，∵弧AC=弧AD，
∴∠ABC=∠ACF．
又∵∠BAC=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC．
∴AC²=AF•AB，
又AC=AE，
∴AE²=AF•AB．
分析：欲證AE²=AF•AB，即證明AC²=AF•AB．所以可以通過證明△ACF∽△ABC得出，因為∠BAC是公共角，只需再證明一個角對應相等．根據垂徑定理得出弧AC=弧AD，則有∠ABC=∠ACF．
點評：乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過相似三角形的性質得出．本題注意有一組對應角相等，需要根據等弦對等角得出．