Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，∠ACD=120°，BD=10．
（1）求證：CA=CD；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）可通過證明角相等來證邊相等．連接OC，則OC⊥CD，那么∠ACO=30°；根據等邊對等角我們不難得出∠A=30°，∠COD=60°，直角三角形OCD中，∠COD=60°，因此∠A=∠D=30°，由此便可得出CA=CD．
（2）在直角三角形OCD中，可用半徑表示出OC，OD，有∠D的度數，可用正弦函數求出半徑的長．

解答：（1）證明：連接OC．
∵DC切⊙O于點C，
∴∠OCD=90°．
又∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°．
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
∴∠D=30°，
∴CA=DC．

（2）解：∵sin∠D=

OC

OD

=

OC

OB+BD

=

OB

OB+BD

，
sin∠D=sin30°=

1

2

，
∴

OB

OB+10

=

1

2

．
解得OB=10．
即⊙O的半徑為10．

點評：本題主要考查了解直角三角形的應用和切線的性質．