Question

如圖，正三角形ABC的中心恰好為扇形ODE的圓心，且點B在扇形內，要使扇形ODE繞點O無論怎樣轉動，△ABC與扇形重疊部分的面積總等于△ABC的面積的，扇形的圓心角應為多少度？說明你的理由。

Answer 1

解：當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重合部分的面積為△ABC面積的，無論繞點O怎樣旋轉，重合部分都等于△OAB的面積。
連接OB、OC
∴S_△OBC=S_△ABC
∵∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°
當∠DOE=120°時
扇形ODE的兩條半徑OD、OE分別與OB、OC重合時，重合部分的面積為S_△OBC
當OD、OE不與OB、OC重合時，設OD交AB于點G，OE交BC于點H
則∠BOG=∠COH，OB=OC，∠OBG=∠OCH=30°
∴△OBG≌△OCH
∴S_△OBG+S_△OBH=S_△OCH+S_△OBH
即S_{四邊形OGBH}=S_△OBC=S_△ABC。