Question

【題目】已知：平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．
（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（2）當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：存在．

∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．

∴OA=BC=5，BC∥OA，

以OA為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，如圖1，

作DG⊥EF于G，連DE，則DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，

∴EG==1.5，

∴E（1，2），F（4，2），

∴當，即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，使∠OPA=90°

（2）

解：如圖2，

∵BC=OA=5，BC∥OA，

∴四邊形OABC是平行四邊形，

∴OC∥AB，

∴∠AOC+∠OAB=180°，

∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，

∴∠AOQ=∠AOC，∠OAQ=∠OAB，

∴∠AOQ+∠OAQ=90°，

∴∠AQO=90°，

以OA為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，

∴點Q只能是點E或點F，

當Q在F點時，∵OF、AF分別是∠AOC與∠OAB的平分線，BC∥OA，

∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，

∴CF=OC，BF=AB，

而OC=AB，

∴CF=BF，即F是BC的中點．

而F點為（4，2），

∴此時m的值為6.5，

當Q在E點時，同理可求得此時m的值為3.5，

綜上所述，m的值為3.5或6.5．

【解析】（1）由四邊形四個點的坐標易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，根據圓周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如圖1，作DG⊥EF于G，連DE，則DE=OD=2.5，DG=2，根據垂徑定理得EG=GF，接著利用勾股定理可計算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即點P在E點和F點時，滿足條件，此時，即，即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，使∠OPA=90°；
（2）如圖2，先判斷四邊形OABC是平行四邊形，再利用平行線的性質和角平分線定義可得到∠AQO=90°，以OA為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，于是得到點Q只能是點E或點F，當Q在F點時，證明F是BC的中點．而F點為 （4，2），得到m的值為6.5；當Q在E點時，同理可求得m的值為3.5．