Question

如圖，已知知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），己知點H（0，-1）．問在拋物線上是否存在點G （點G在y軸的左側），使得S_△GHC=S_△GHA？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），拋物線上點D在x軸上的正投影為點E（-2，0），F是OC的中點，連接DF，P為線段BD上的一點，若∠EPF=∠BDF，求線段PE的長．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，-3），利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）分別從GH∥AC與GH與AC不平行去分析，注意先求得直線GH的解析式，根據交點問題即可求得答案，小心不要漏解；
（3）利用待定系數法求得直線DF的解析式，即可證得△PBE∽△FDP，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）由題意得：

1+b+c=0 c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3；

（2）解法一：
假設在拋物線上存在點G，設G（m，n），顯然，當n=-3時，△HGC不存在．
①當n＞-3時，
可得S_△GHA=-

m

2

+

n

2

+

1

2

，S_△GHC=-m，
∵S_△GHC=S_△GHA，
∴m+n+1=0，
由

n=m2+2m-3 m+n+1=0

，
解得：

m=- 3+ 17 2 n= 1+ 17 2

或

m= -3+ 17 2 n= 1- 17 2

，
∵點G在y軸的左側，
∴G（-

3+ 17

2

，

1+ 17

2

）；
②當-4≤n＜-3時，
可得S_△GHA=

m

2

-

n

2

-

1

2

，S_△GHC=-m，
∵S_△GHC=S_△GHA，
∴3m-n-1=0，
由

n=m2+2m-3 3m-n-1=0

，
解得：

m=-1 n=-4

或

m=2 n=5

，
∵點G在y軸的左側，
∴G（-1，-4）．
∴存在點G（-

3+ 17

2

，

1+ 17

2

）或G（-1，-4）．
解法二：
①如圖①，當GH∥AC時，點A，點C到GH的距離相等，
∴S_△GHC=S_△GHA，
可得AC的解析式為y=3x-3，
∵GH∥AC，得GH的解析式為y=3x-1，
∴G（-1，-4）；
②如圖②，當GH與AC不平行時，
∵點A，C到直線GH的距離相等，
∴直線GH過線段AC的中點M（

1

2

，-

3

2

）．
∴直線GH的解析式為y=-x-1，
∴G（-

3+ 17

2

，

1+ 17

2

），
∴存在點G（-

3+ 17

2

，

1+ 17

2

）或G（-1，-4）．

（3）解法一：
如圖③，∵E（-2，0），
∴D的橫坐標為-2，
∵點D在拋物線上，
∴D（-2，-3），
∵F是OC中點，
∴F（0，-

3

2

），
∴直線DF的解析式為：y=

3

4

x-

3

2

，
則它與x軸交于點Q（2，0），
則QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，
∵∠EPF=∠PDF，
∴∠BPE=∠DFP，
∴△PBE∽△FDP，
∴

PB

FD

=

BE

DP

，
得：PB•DP=

5

2

，
∵PB+DP=BD=

10

，
∴PB=

10

2

，
即P是BD的中點，
連接DE，
∴在Rt△DBE中，PE=

1

2

BD=

10

2

．

解法二：
可知四邊形ABDC為等腰梯形，取BD的中點P′，
P′F=

1

2

（OB+CD）=

5

2

，
P′F∥CD∥AB，
連接EF，可知EF=DF=

5

2

，
即EF=FP′=FD，
即△FEP′相似△FP′D，
即∠EP′F=∠FP′D=∠FDP′，
即∠EP′F和∠EPF重合，
即P和P′重合，
P為BC中點，
PE=

1

2

BD=

10

2

（△BDE為直角三角形）．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，直線與二次函數的交點問題以及三角形面積問題的求解等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用