Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，點D為斜邊AB上動點．

（1）如圖1，當CD⊥AB時，求CD的長度；

（2）如圖2，當AD=AC時，過點D作DE⊥AB交BC于點E，求CE的長度；

（3）如圖3，在點D的運動過程中，連接CD，當△ACD為等腰三角形時，直接寫出AD的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當△ACD為等腰三角形時，AD的長度為：15或18或.

【解析】

（1）由勾股定理求出BC的長度，再由面積法求出CD的長度即可；

（2）連接AE，可證明△ACE≌△ADE，得到CE=DE，設CE=DE=x，則BE=，由BD=10，則利用勾股定理，求出x，即可得到CE的長度；

（3）當△ACD為等腰三角形時，可分為三種情況進行①AD=AC；②AC=CD；③AD=CD；對三種情況進行計算，即可得到AD的長度.

解：（1）如圖，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，

∴BC=，

∴，

∴，

解得：；

（2）如圖，連接AE，

∵DE⊥AB，

∴∠ADE=∠C=90°，

在Rt△ADE和Rt△ACE中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ACE，

∴DE=CE；

設DE=CE=x，則BE=，又BD=

在Rt△BDE中，由勾股定理，得

，

解得：，

∴；

（3）在Rt△ABC中，有AB=25，AC=15，BC=20，點C到AB的距離為12；

當△ACD為等腰三角形時，可分為三種情況：

①當AD=AC時，AD=15；

②當AC=CD時，如圖，作CE⊥AB于點E，則，

∵CE=12，由勾股定理，得

，

∴；

③當AD=CD時，如圖，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

當點D是AB中點時，有AD=BD=CD，

∴；

綜合上述，當△ACD為等腰三角形時，AD的長度為：15或18或.