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(2013•晉江市質檢)如圖,拋物線y=a(x-4)2+4(a≠0)經過原點O(0,0),點P是拋物線上的一個動點,OP交其對稱軸l于點M,且點M、N關于頂點Q對稱,連結PN、ON.
(1)求a的值;
(2)當點P在對稱軸l右側的拋物線上運動時,試解答如下問題:
①是否存在點P,使得ON⊥OP?若存在,試求出點P的坐標;否則請說明理由;
②試說明:△OPN的內心必在對稱軸l上.
分析:(1)把原點的坐標代入拋物線解析式,列出關于a的方程0=a(0-4)2+4,通過解方程0=a(0-4)2+4來求a的值;
(2)①根據題意,可點P(x0, -
1
4
x
2
0
+2x0)
,則易求得AN=OD=4,OB= 
1
4
x
2
0
-2x0
,BP=x0,OA=x0
如圖1所示,作NA⊥y軸于點A,PB⊥y軸于點B,構建相似三角形:△ANO∽△BOP.由該相似三角形的對應邊成比例求得x0=4+4
2
,即點P的坐標(4+4
2
, -4)

②欲證明△OPN的內心必在對稱軸l上,只需證明直線l平分∠ONP即可.
解答:解:(1)把點O(0,0)代入y=a(x-4)2+4,得:0=a(0-4)2+4,解得:a=-
1
4


(2)由(1)得:a=-
1
4

∴拋物線的解析式是y=-
1
4
(x-4)2+4
,即y=-
1
4
x2+2x

∵點P是拋物線上的點,
∴設點P(x0, -
1
4
x
2
0
+2x0)

則直線OP的解析式為:y=
-
1
4
x
2
0
+2x0
x0
x=(-
1
4
x0+2)x

∴M(4,-x0+8),
y=-
1
4
(x-4)2+4
可得頂點Q(4,4),又點M、N關于頂點Q對稱
∴N(4,x0
∴AN=OD=4,OB= 
1
4
x
2
0
-2x0
,BP=x0,OA=x0
若ON⊥OP,則∠NOP=90°,顯然點P在第四象限,
如圖1所示,作NA⊥y軸于點A,PB⊥y軸于點B.
∴∠OPB+∠POB=90°,∠OPB=∠AON(同角的余角相等).
∴△ANO∽△BOP.
OB
AN
=
BP
OA
,即
 
1
4
x
2
0
-2x0
4
=
x0
x0
,即
x
2
0
-8x0-16=0

解得:x0=4±4
2

又x0>4
x0=4+4
2

∴點P(4+4
2
, -4)

故當點P在對稱軸l右側的拋物線上運動時,存在點P的坐標(4+4
2
, -4)
,使得ON⊥OP.

②如備用圖,作PH⊥l于點H.
由點P(x0, -
1
4
x
2
0
+2x0)
、N(4,x0),可得:PH=x0-4,NH=x0-(-
1
4
x
2
0
+2x0)=
1
4
x
2
0
-x0

在Rt△PHN中,tan∠PNH=
PH
NH
=
x0-4
1
4
x
2
0
-x0
=
4
x0

在Rt△ODN中,tan∠OND=
OD
DN
=
4
x0

∴tan∠PNH=tan∠OND
∴∠PNH=∠OND,即直線l平分∠ONP,
∴△OPN的內心必在對稱軸l上.
點評:本題綜合考查了待定系數法求二次函數解析式,相似三角形的判定與性質以及三角形內心的定義.在解答(1)①時,也可以由△ODM∽△PBO求得DM=x0-8,即M(4,-x0+8).
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4.364×109
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15.6
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12x
上的一點,射線PM⊥x軸于點M,交直線AB于點E,射線PN⊥y軸于點N,交直線AB于點F.
(1)直接寫出點E與點F的坐標(用含a、b的代數式表示);
(2)當x>0,且直線AB與線段PN、線段PM都有交點時,設經過E、P、F三點的圓與線段OE相交于點T,連結FT,求證:以點F為圓心,以FT的長為半徑的⊙F與OE相切;
(3)①當點P在雙曲線第一象限的圖象上移動時,求∠EOF的度數;
②當點P在雙曲線第三象限的圖象上移動時,請直接寫出∠EOF的度數.

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