Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B的平分線交DC于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）如圖（1），若∠C的平分線交BE于點(diǎn)G，寫出圖中所有的相似三角形（不必證明）；
（2）在（1）的條件下求BG的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P為BE上動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑的⊙P與線段BC交于點(diǎn)Q（如圖（2）），請(qǐng)直接寫出當(dāng)BP取什么范圍內(nèi)值時(shí)，①點(diǎn)A在⊙P內(nèi)；②點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外．

Answer 1

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義找到相等的角，進(jìn)一步根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明三角形相似；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義，得∠ABE=∠AFB，則AB=AF=4，則DF=1；根據(jù)平行線分線段成比例定理求得DE和CE的長(zhǎng)；根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和角平分線定義，得BG=CG；設(shè)BG=CG=x，根據(jù)△FDE∽△CGE，求得BG的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行分析．

解答：解：（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．

（2）∵BE平分∠B，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AFB，
∴AB=AF．
∴AF=4，DF=1．
∵AD∥BC，
∴DF：BC=DE：EC，
∴DE=

2

3

，CE=

10

3

．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠BCD=∠ABC．
∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠CBG=∠BCG，
∴BG=CG．
設(shè)BG=CG=x，則由△FDE∽△CGE，得
DF：CG=DE：GE，
∴GE=

2

3

x．
又由△CGE∽△BCE，得
EC²=EG•EB，
即(

10

3

)2=

2

3

x•（x+

2

3

x），
∴x=

10

，
即BG=

10

．

（3）①連接AP，當(dāng)BP=AP時(shí)，點(diǎn)A在圓P上，此時(shí)△ABP∽△ABF，求得BP=

4

5

10

，
即BP＞AP時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)．
∴當(dāng)

4

5

10

＜BP≤

10

時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)．
②根據(jù)①求得BE=

5

3

10

，
∴BP＜

1

2

BE，即BP＜

5

6

10

時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外
∴當(dāng)

4

5

10

＜BP＜

5

6

10

時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系．