Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，E為⊙O的半圓弧上一動點（不與A、B重合），過點E的直線分別交射線AM、BN于D、C兩點，且CB＝CE．

 

1.求證：CD為⊙O的切線

2.若tan∠BAC＝，求 的值

 

Answer 1

 

1.證明：連接OE．       …………………………………1分

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB．

∵BC＝EC，

∴∠CBE＝∠CEB．             ……………………………………………2分

∴∠OBC＝∠OEC．

∵BC為⊙O的切線，

∴∠OEC＝∠OBC＝90°，        ……………………………………………3分

∵OE為半徑，∴CD為⊙O的切線．……………………………………………4分

2.延長BE交AM于點G，連接AE，過點D作DT⊥BC于點T．

因為DA、DC、CB為⊙O的切線，

∴DA＝DE，CB＝CE．

在Rt△ABC中，因為tan∠BAC＝，令AB＝2x，則BC＝x．

∴CE＝BC＝x．                ……………………………………………5分

令AD＝DE＝a，

則在Rt△DTC中，CT＝CB－AD＝x－a，DC＝CE＋DE＝x＋a，DT＝AB＝2x，

∵DT²＝DC²－CT²，

∴(2x)²＝(x＋a)²－(x－a)²．   ……………………………………………6分

解之得，x＝a．               ……………………………………………7分

∵AB為直徑，

∴∠AEG＝90°．

∵AD＝ED，

∴AD＝ED＝DG＝a．

∴AG＝2a．                    ……………………………………………8分

因為AD、BC為⊙O的切線，AB為直徑，

∴AG∥BC．

所以△AHG∽△CHB．

∴＝＝．        ……………………………………………9分

∴＝1．                 ……………………………………………10分

解析:切線的判定定理是圓中常考點，三角形相似是求三角形中線段長度的常用方法。