Question

已知⊙O中，弦AB=AC,點P是∠BAC所對弧上一動點，連接PB、PA、PC。
（1）  如圖①，把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，求證：點P、C、Q三點在同一直線上。
（2）  如圖②，若∠BAC=60º,試探究PA、PB、PC之間的關系。
（3）  若∠BAC=120º時，（2）中的結論是否成立？若是，請證明；若不是，請探究它們又有何數量關系。

?                      ②                   ③

Answer 1

(1)連接PC，
∵△ABP≌△ACQ
∴∠ABP=∠ACQ
∵,
∴∠ABP+∠ACP=180°
∴∠ACQ+∠ACP=180°
∴點P、C、Q三點在同一直線上
(2) 把△ABP繞點A逆時針旋轉到AB與AC重合得△ACQ，
∵△ABP≌△ACQ
∴CQ="BP," ∠BAP=∠CAQ
∵∠BAC=60º
∴∠PAQ=60º
∵AB=AC
∴△APQ是等邊三角形
∴AP=CQ+PC
即AP=PB+PC
(3)(2)中的結論不成立。
∵∠BAC=120º
∴∠PAQ=120º
∴△APQ是等腰三角形
∴PQ=PA
∴AP=CQ+PC
即AP=PB+PC

利用旋轉，將△ABP與△ACQ拼成一個三角形。從而求證。