Question

如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是線段BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG
（1）連接GD，求證△ADG≌△ABE；
（2）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=1，BC=2，E是線段BC上一動點（不含端點B，C ），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．判斷當E由B向C運動時，∠FCN的大小是否保持不變？若∠FCN的大小不變，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發生改變，請舉例說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性質即可解答；
（2）作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．利用正方形的性質及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性質即可解答，∠FCH的大小總保持不變，由△EHF∽△ABE可得tan∠FCH=．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG．
∴△BAE≌△DAG；

（2）當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，
理由是：作FH⊥MN于H，
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
由（1）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=2，
∴CH=BE，
∴==，
∴在Rt△FCH中，tan∠FCN===2，
∴當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN=2．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質；正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識點的綜合運用，其重點是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例，綜合性較強，有一定的難度．