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如圖,拋物線y=ax2-5ax+4經過△ABC的三個頂點,已知BC∥x軸,點A在x軸上,點C在y軸上,且AC=BC.
(1)求拋物線的對稱軸;
(2)寫出A,B,C三點的坐標并求拋物線的解析式;
(3)探究:若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點P坐標;不存在,請說明理由.
(4)在拋物線對稱軸上是否存在點M,使點M到點A和B的距離之差最大?若存在,直接寫出所有符合條件的點M坐標;不存在,請說明理由.
分析:(1)根據對稱軸x=-
b
2a
,代入求出即可;
(2)令x=0,求出C的坐標,根據拋物線的對稱求出點B的坐標,由AB=BC=5,OA=4,得到A的坐標,代入解析式即可求出解析式;
(3)分三種情況討論:
①以AB為腰且頂角為∠A,先求出AB的值,再利用等腰三角形的性質結合勾股定理求出P1N的長,即可求出P1的坐標;
②以AB為腰且頂角為角B,根據MN的長和MP2的長,求出P2的縱坐標,已知其橫坐標,可得其坐標;
③以AB為底,頂角為角P時,依據Rt△P3CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的長,可得P3坐標;
(4)在拋物線的對稱軸確定一點M,使|AM-BM|的值最大時,點M為直線AC與拋物線對稱軸的交點.
解答:解:(1)對稱軸為x=-
-5a
2a
=2.5,即拋物線y=ax2-5ax+4的對稱軸是直線x=2.5;

(2)令x=0,則y=4,
∴點C的坐標為(0,4),
又∵BC∥x軸,點B,C關于對稱軸對稱,
∴點B的坐標為(5,4),
又∵AC=BC,
∴AC=BC=5,OA=3,點A在x軸上,
∴點A的坐標為A(-3,0),
∵拋物線y=ax2-5ax+4經過點A,
∴9a+15a+4=0,
解得,a=-
1
6

∴拋物線的解析式是y=-
1
6
x2+
5
6
x+4,
∴A,B,C三點的坐標分別是(-3,0),(5,4),(0,4),拋物線的解析式是y=-
1
6
x2+
5
6
x+4;

(3)存在符合條件的點P共有3個.以下分三類情形探索.
設拋物線對稱軸與x軸交于N,與CB交于M.
過點B作BQ⊥x軸于Q,
易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,BM=
5
2

①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個:△P1AB.
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80;
在Rt△ANP1中,P1N2=AP12-AN2=AB2-AN2 =80-(5.5)2 =
199
4

∴P1
5
2
,-
199
2
);
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個:△P2AB.
在Rt△BMP2中,MP22=BP22-BM2=AB2-BM2=
295
4

∴P2
5
2
,4-
295
2
);
③以AB為底,頂角為角P的△PAB有1個,即△P3AB.
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P3,此時平分線必過等腰△ABC的頂點C.
過點P3作P3K垂直y軸,垂足為K,
∵∠CP3K=∠ABQ,∠CKP3=∠AQB,
∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ.
∴P3K:CK=BQ:AQ=1:2.
∵P3K=2.5
∴CK=5,于是OK=1,
∴P3
5
2
,-1);

(4)直線AC交拋物線對稱軸于點M,連接MB.
∵對稱軸x=
5
2
是線段BC的垂直平分線,
∴MB=MC,
∴MA-MB=MA-MC=AC;
在拋物線對稱軸上任取另外一點M′,則M′A-M′B=M′A-M′C<AC(三角形兩邊之差小于第三邊),
∴線段AC為差值最大值,
根據A,C坐標得出,直線AC的解析式為y=
4
3
x+4.
則點M的坐標為(
5
2
22
3
).
點評:本題主要考查的是二次函數綜合題.解題時,注意對線段的垂直平分線定理、勾股定理、用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵.
練習冊系列答案
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8、如圖,直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標系中可能是(  )

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如圖,拋物線y1=-ax2-ax+1經過點P(-
1
2
9
8
),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點.
(1)求a值;
(2)設y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(點M在點N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F兩點(點E在點F的左邊),觀察M,N,E,F四點的坐標,寫出一條正確的結論,并通過計算說明;
(3)設A,B兩點的橫坐標分別記為xA,xB,若在x軸上有一動點Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網兩點,試問當x為何值時,線段CD有最大值,其最大值為多少?

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如圖,拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負半軸于點A,交x軸正半軸于點B,交y軸正半軸于點D,精英家教網O為坐標原點,拋物線上一點C的橫坐標為1.
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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已知:如圖,拋物線的頂點為點D,與y軸相交于點A,直線y=ax+3與y軸也交于點A,矩形ABCO的頂點B在精英家教網此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經過A、B兩點的一個動圓,當⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標;
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C(0,-2),精英家教網與x軸交于點A、B,點A的坐標為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動點,N是線段OC上一動點,且ON=2OM,分別連接MC、MN.當△MNC的面積最大時,求點M、N的坐標;
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P,與線段AC交于點F,點D的坐標為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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