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如圖,已知AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一點O,以O為圓心OB為半徑作圓,且⊙O過A點,過A作AD∥BC交⊙O于D,
求證:(1)AC是⊙O的切線;
(2)四邊形BOAD是菱形.

【答案】分析:(1)根據等腰三角形性質和技術性的內角和定理求出∠ABC和∠C的度數,求出∠BAO,求出∠OAC=90°,根據切線的判定求出即可;
(2)連接AE,求出∠AEB的度數,根據平行線求出∠DAO,根據圓內接四邊形性質求出∠D,根據四邊形的內角和定理求出∠DAO,根據平行四邊形的判定得出平行四邊形BOAD,根據菱形的性質求出即可.
解答:(1)證明:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=30°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=30°,
∴∠OAC=120°-30°=90°,
即OA⊥AC,
∵OA為⊙O的半徑,
∴AC是⊙O的切線.

(2)證明:連接AE,
∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°,
∴由圓周角定理得:∠AEB=∠AOB=60°,
∵D、B、E、A四點共圓,
∴∠D+∠AEB=180°,
∴∠ADB=120°,
∵AD∥BC,
∴∠DAO+∠BOA=180°,
∴∠DAO=60°,
∴∠DBO=360°-60°-120°-120°=60°,
即∠D=∠BOA,∠DBO=∠DAO,
∴四邊形BOAD是平行四邊形,
∵OA=OB,
∴平行四邊形BOAD是菱形.
點評:本題考查的知識點有等腰三角形性質、三角形的內角和定理、切線的判定、平行四邊形的判定、平行線性質、菱形的判定、圓周角定理、圓內接四邊形,本題主要考查了學生的推理能力,是一道比較好的題目.
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2
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