Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF

（1）如圖1，當點D在線段BC上時．求證CF+CD=BC；

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；

（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F分別在直線BC的兩側，其他條件不變；

①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；

②若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE，DF相交于點O，連接OC．求OC的長度．

Answer 1

考點：

四邊形綜合題．

分析：

（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據此即可證得；

（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；

（3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據正方形的性質即可求得DF的長，則OC即可求得．

解答：

證明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∴AB=AC，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

則在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，

∵BD+CD=BC，

∴CF+CD=BC；

（2）CF﹣CD=BC；

（3）①CD﹣CF=BC

②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∴AB=AC，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，

∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD，

∵∠ABC=45°，

∴∠ABD=135°，

∴∠ACF=∠ABD=135°，

∴∠FCD=90°，

∴△FCD是直角三角形．

∵正方形ADEF的邊長為2且對角線AE、DF相交于點O．

∴DF=AD=4，O為DF中點．

∴OC=DF=2．

點評：

本題考查了正方形與全等三角形的判定與性質的綜合應用，證明三角形全等是關鍵．