Question

如圖，以正方形ABCD的邊BC為直徑作半圓O，過點D作直線切半圓于點F，交AB邊于點E，求△ADE和直角梯形EBCD周長之比．

Answer 1

分析：設EF=x，DF=y，在△ADE中根據勾股定理可得列方程，從而得到三角形ADE的周長和直角梯形EBCD周長，從而可求得兩者周長之比．

解答：解：根據切線長定理得，BE=EF，DF=DC=AD=AB=BC．
設EF=x，DF=y，
則在直角△AED中，AE=y-x，AD=CD=y，DE=x+y．
根據勾股定理可得：
（y-x）²+y²=（x+y）²，
∴y=4x，
∴三角形ADE的周長為12x，直角梯形EBCD周長為14x，
∴兩者周長之比為12x：14x=6：7，
故△ADE和直角梯形EBCD周長之比為6：7．

點評：此題考查圓的切線長定理，正方形的性質和勾股定理等知識，解答本題關鍵是運用切線長定理得出EB=EF，DF=DC，從而求解．