Question

對于平面直角坐標系O中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關聯點。

已知點D（，），E（0，-2），F（，0）

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點D，E，F中，⊙O的關聯點是__________；

②過點F作直線交軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P（，）是⊙O的關聯點，求的取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑的取值范圍。

Answer 1

解析：【解析】(1) ①；

② 由題意可知，若點要剛好是圓的關聯點；

     需要點到圓的兩條切線和之間所夾

的角度為；

由圖可知，則，

連接，則；

∴若點為圓的關聯點；則需點到圓心的距離滿足；

由上述證明可知，考慮臨界位置的點，如圖2；

點到原點的距離；

過作軸的垂線，垂足為；

；

∴；

∴；

∴；

∴；

易得點與點重合，過作軸于點；

易得；

∴；

從而若點為圓的關聯點，則點必在線段上；

∴；

(2) 若線段上的所有點都是某個圓的關聯點，欲使這個圓的半徑最小，

  則這個圓的圓心應在線段的中點；

考慮臨界情況，如圖3；

即恰好點為圓的關聯時，則；

∴此時；

故若線段上的所有點都是某個圓的關聯點，

這個圓的半徑的取值范圍為.

【點評】“新定義”問題最關鍵的是要能夠把“新定義”轉化為自己熟悉的知識，通過第(2)問開

頭部分的解析，可以看出本題的“關聯點”本質就是到圓心的距離小于或等于倍半

徑的點.

了解了這一點，在結合平面直角坐標系和圓的知識去解答就事半功倍了.