Question

閱讀題：
我們可以用換元法解簡單的高次方程，入解方程x⁴-3x²+2=0可設y=x²，則原方程可化為y²-3y+2=0，解之得y₁=2y₂=1，當y₁=2時，即x²=2則x₁=、x₂=-，當y₂=1時，即x²=1，則x₃=1、x₄=-1，故原方程的解為x₁=、x₂=-；x₃=1x₄=-1，仿照上面完成下面解答：
（1）已知方程（2x²+1）²-2x²-3=0，設y=2x²+1，則原方程可化為______．
（2）仿照上述解法解方程（x²+2x）²-3x²-6x=0．

Answer 1

解：（1）設y=2x²+1，
則原式左邊=（2x²+1）²-（2x²+1）-2=y²-y-2．
∴原方程可化為y²-y-2=0．

（2）設x²+2x=y，
則原式左邊=（x²+2x）²-3（x²+2x）=y²-3y；
∴y²-3y=0，
∴y（y-3）=0，
∴y=0或3．
當y=0時，則x²+2x=0，
∴x（x+2）=0，
∴x=-2或0；
當y=3時，則x²+2x=3，
∴x²+2x-3=0，
解得x=1或-3．
故方程的解為-3，-2，0，1．
分析：（1）利用完全平方公式可把原式變為（2x²+1）²-2x²-3=（2x²+1）²-（2x²+1）-2，然后用y代替式子中的2．
（2）（x²+2x）²-3x²-6x=0即（x²+2x）²-3（x²+2x）=0．可以把x²+2x當作整體，設x²+2x=y，原方程即可變形為關于y的方程，即可求得y的值，因而求得x的值．
點評：本題的關鍵是把2x²+1和x²+2x看成一個整體來計算，即換元法思想．