Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的頂點為坐標原點，點在軸的正半軸上，且于點，點的坐標為，，，點是線段上一點，且，連接.

（1）求證：是等邊三角形；

（2）求點的坐標；

（3）平行于的直線從原點出發，沿軸正方向平移.設直線被四邊形截得的線段長為，直線與軸交點的橫坐標為.

①當直線與軸的交點在線段上（交點不與點重合）時，請直接寫出與的函數關系式（不必寫出自變量的取值范圍）

②若，請直接寫出此時直線與軸的交點坐標.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2） （3）① ②，

【解析】

（1）過點A作AM⊥x軸于點M，根據已知條件，依據三角函數求得∠AOM=60°，根據勾股定理求得OA=4，即可求得．

（2）過點A作AN⊥BC于點N，則四邊形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根據三角函數求得AN、BN的值，從而求得OC、BC的長，得出點B的坐標．

（3）①如圖3，因為∠B=60°，BC=4，所以PC=12，EM=m，因為OC=8，所以PO=4，OF=t，MF=m，OM=，所以PM=4+（），根據△PME∽△PCB即可求得m=.

②如圖4，△OEF是等邊三角形所以OF=EF=m=2，在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°，所以BP=PE′÷sin∠B=，PC=，根據勾股定求得CF′=，所以OF′=.

解：（l）如圖.

證明：過點作軸于點，

∵點的坐標為，∴，，

∴在中，，∴

由勾股定理得，，

∵，∴，

∴是等邊三角形.

（2）如圖

解：過點作于點，

∵，軸，

∴，

∴四邊形為矩形，∴，，

∵，，∴在中，

，

.

∴，，

∴，，

∴點的坐標為.

（3）

①如圖3，∠B=60°，BC=4

PC=12，EM=m，

OC=8，

PO=4，OF=t，MF=m，OM=，

PM=4+（），

由△PME∽△PCB即可求得m=.

②如圖4，△OEF是等邊三角形

OF=EF=m=2，

在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°

BP=PE′÷sin∠B=，PC=，

由勾股定求得CF′=，所以OF′=.

故答案為：，