Question

如圖，已知y₁=k₁x+k₁（k₁≠0）與反比例函數y2=

k2

x

(k2≠0)的圖象交于點A、C，其中A點坐標（1，1）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）根據圖象寫出在第一象限內，當取何值時，y₁＜y₂？
（3）若一次函數y₁=k₁x+k₁與x軸交于B點，連接OA，求△AOB的面積：
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A的坐標代入反比例解析式中求出k₂的值，即可確定出反比例解析式；
（2）由一次函數與反比例函數的交點A的橫坐標，將x大于0分為兩個范圍，找出反比例函數在一次函數圖象上方時x的范圍即可；
（3）將A的坐標代入一次函數解析式中，求出k₁的值，確定出一次函數解析式，令y=0求出x的值，確定出B的坐標，得到OB的長，三角形AOB的面積由OB與A縱坐標乘積的一半即可求出；
（4）存在．分AO為底邊和AO為腰兩種情況考慮：由A的坐標，利用勾股定理求出OA的長，利用等腰三角形的性質分別求出滿足題意的P點坐標即可．

解答：解：（1）將A（1，1）代入反比例解析式得：1=

k2

1

，即k₂=1，
則反比例解析式為y₂=

1

x

；
（2）由圖象可得：當0＜x＜1時，y₁＜y₂；
（3）將A（1，1）代入一次函數解析式得：1=k₁+k₁，即k₁=

1

2

，
∴一次函數解析式為y₁=

1

2

x+

1

2

，
令y=0，得x=-1，∴B（-1，0），即OB=1，
則S_△AOB=

1

2

×OB×y_A縱坐標=

1

2

×1×1=

1

2

；
（4）存在．
當OA為底邊時，此時△AOP₁為等腰直角三角形，P₁（1，0）；
當OA為腰時，以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸交于P₃，P₂，
∵A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，
∴OP₃=OP₂=

2

，
此時P₂（

2

，0），P₃（-

2

，0）；
以A為圓心AO為半徑畫弧，與x軸交于P₄，
∵OA=AP₄，AP₁⊥OP₄，
∴OP₁=P₁P₄=1，
∴OP₄=2，此時P₄（2，0），
綜上，P的坐標為（1，0）或（

2

，0）或（-

2

，0）或（2，0）．

點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定函數解析式，以及等腰三角形的性質，利用了分類討論及數形結合的思想，靈活運用待定系數法是解本題的關鍵．