Question

已知在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，則△ABC的外接圓半徑長為

 

cm，△ABC的內切圓半徑長為

 

cm，△ABC的外心與內心之間的距離為

 

cm．

Answer 1

分析：首先運用勾股定理求出斜邊AB=10cm，因為直角三角形的外心是斜邊的中點，則外接圓的半徑是斜邊的一半，即為5cm．直角三角形的內切圓的半徑r和三邊的關系為r=

a+b-c

2

（a，b為兩直角邊，c為斜邊）可求的r．再運用勾股定理求外心與內心之間的距離即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=

82+62

=10cm．
∴△ABC的外接圓半徑長R=

AB

2

=

10

2

=5cm．
故答案為：5cm．

（2）∵AC=8cm，BC=6cm，由（1）知AB=10cm，
∴△ABC的內切圓半徑長r=

a+b-c

2

，
=

8+6-10

2

=2cm．
故答案為：2cm．

（3）連接ID，IE，IF，
∵⊙I是△ABC的內切圓，
∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，
又∵DI=EI，
∴四邊形CDIE是正方形．
∴CD=CE=DI=IE，
由（2）知DI=IE=IF2cm，
∴CD=2cm．
∵BC=6cm，
∴BD=4cm．
∵⊙I是△ABC的內切圓，
∴BD=BF=4cm．
∵BO=5cm，
∴OF=1cm．
在Rt△IFO中，IO=

22+12

=

5

cm．
∴△ABC的外心與內心之間的距離為

5

cm．
故答案為：

5

cm．

點評：本題考查了三角形的外心和內心的性質．直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的半徑是斜邊的一半；直角三角形的內切圓的半徑r和三邊的關系為r=

a+b-c

2

（a，b為兩直角邊，c為斜邊）．