Question

如圖，面積為8的矩形ABOC的邊OB、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點A在雙曲線的圖象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）將矩形ABOC以B旋轉中心，順時針旋轉90°后得到矩形FBDE，雙曲線交DE于M點，交EF于N點，求△MEN的面積．
（3）在雙曲線上是否存在一點P，使得直線PN與直線BC平行？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據面積為8的矩形ABOC，AC=2，可以求出AB，即可得出A點的坐標，即可求出解析式；
（2）由矩形ABOC以B為旋轉中心，順時針旋轉90°后得到矩形BDEF，得出點N、E縱坐標為2，點M、E橫坐標為6，從而求出
E，N的坐標，即可得出△MEN的面積；
（3）首先求出直線BC解析式，再根據直線PN與直線BC平行，得出一次項系數相等，再將N點坐標代入即可求出．
解答：解：（1）∵矩形ABOC的面積為8，且AC=2，
∴AB=4，
∵點A在第一象限
∴A（2，4），
∵頂點A在雙曲線的圖象上，
將A點代入雙曲線函數中，得：即k=8；

（2）∵矩形ABOC以B為旋轉中心，順時針旋轉90°后得到矩形BDEF，
∴點N、E縱坐標為2，點M、E橫坐標為6，
∴將y=2代入中，得x=4，
將x=6代入中，則，
∴M（6，），E（6，2），N（4，2），
∴EM=，EN=2，
∴．

（3）設直線BC的表達式為y=mx+b（m≠0），
∵B（2，0）、C（0，4）
∴得
∴直線BC的表達式為y=-2x+4，
若直線PN∥BC，則可設直線PN為y=-2x+a
把N（4，2）代入，得a=10
∴直線PN為y=-2x+10，
由
得
∴P點的坐標為（1，8）．
點評：此題主要考查了反比例函數與一次函數的綜合應用，根據兩直線平行得出兩一次函數的一次項系數相等是解決問題的關鍵．