Question

如圖所示，⊙O中，弦AC、BD交于E，．
（1）求證：；
（2）延長EB到F，使EF=CF，試判斷CF與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC，由，得弧AD=弧AB，則∠ABD=∠ACB，得到△ABE∽△ABC，所以；
（2）連接AO、CO，由A為中點，得到AO⊥DB，得到∠OAC+∠AED=90°，所以∠OAC+∠FEC=90°，而EF=CF，則∠FEC=∠ECF，
又∠OAC=∠OCA，所以∠OAC+∠FEC=∠OCA+∠ECF=90°，即得到CF與⊙O相切．
解答：證明：（1）連接BC，如圖，
∵．
∴弧AD=弧AB，
∴∠ABD=∠ACB，
而∠CAB公用，
∴△ABE∽△ABC，
∴，
∴；

（2）CF與⊙O相切．理由如下：
連接AO、CO，
∵A為中點，
∴AO⊥DB，
∴∠OAC+∠AED=90°
∵∠AED=∠FEC，
∴∠OAC+∠FEC=90°，
又∵EF=CF，
∴∠FEC=∠ECF，
∵AO=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FEC=∠OCA+∠ECF=90°，
∴FC與⊙O相切．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質、等腰三角形的性質和切線的判定．