Question

如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°，得到△A'B'O．
（1）一拋物線經過點A'、B'、B，求該拋物線的解析式；
（2）設點P是在第一象限內拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB'A'B的面積是△A'B'O面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB'A'B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB'A'B的兩條性質．

Answer 1

解：（1）△A'B'O是由△ABO繞原點O 逆時針旋轉90°得到的， 又A（0，1），B（2，0），O（0，0）， ∴A'（﹣1，0），B'（0，2）． 設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c(a≠0)， ∵拋物線經過點A'、B'、B， ∴， 解之得， ∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2； （2）∵P為第一象限內拋物線上的一動點， 設P（x，y），則x＞0，y＞0，P點坐標滿足y=﹣x2+x+2． 連接PB，PO，PB'， ∴S四邊形PB'A'B=S△B'OA'+S△PB'O+S△POB =x+(﹣x2+x+2)+1 =﹣x2+2x+3， 假設四邊形PB'A'B的面積是△A'B'O面積的4倍， 則﹣x2+2x+3=4， 即x2﹣2x+1=0，解之得x=1， 此時y=﹣12+1+2=2，即P(1，2)， ∴存在點P（1，2）， 使四邊形PB'A'B的面積是△A'B'O面積的4倍； （3）四邊形PB'A'B為等腰梯形； 答案不唯一，下面性質中的任意2個均可． ①等腰梯形同一底上的兩個內角相等； ②等腰梯形對角線相等； ③等腰梯形上底與下底平行； ④等腰梯形兩腰相等． 或用符號表示： ①∠B'A'B=∠PBA'或∠A'B'P=∠BPB'； ②PA'=B'B； ③B'P∥A'B； ④B'A'=PB．