四邊形ABCD的對角線AC、BD交于P，過點P作直線，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，證明：四邊形ABCD為平行四邊形．

證明：延長AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，則由已知可得PM=PN，易證△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．
∴∠M=∠N，∠MEP=∠NFP
∴∠AEP=∠PFC
∴AD∥BC，
可證得△PAE≌△PCF，得PA=PC，
再證△PED≌△PFB．得PB=PD．
∴ABCD為平行四邊形．
分析：熟記平行四邊形的判定，其中對角線互相平分，是平行四邊形，延長AC后，證明AD∥BC，然后再證明三角形全等，證得對角線互相平分，得到結論．
點評：本題考查平行四邊形的判定定理，本題關鍵是正確作出輔助線．

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定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內心．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點P就是四邊形ABCD的準內心．

（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點P．求證：點P是四邊形ABCD的準內心．
（2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內心．（作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明）
（3）同樣，我們定義：到凸四邊形一組對角頂點的距離相等，到另一組對角頂點的距離也相等的點叫凸四邊形的準外心．若QA=QC，QB=QD，則點Q就是四邊形ABCD的準外心．那么你認為Q是

AC的中垂線

和

BD的中垂線

的交點．

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