Question

已知：如圖，平行四邊形ABCD中，AE、BE、CF、DF分別平分∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA，BE、DF的延長線分別交AD、BC于點M、N，連接EF，若AD=7，AB=4，求EF的長．

Answer 1

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD．
∴∠2=∠3．
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
∴AM=AB=4．
∵AE平分∠BAD，
∴EM=BM，
．同理，CN=CD，DF=DN，
∴AM=CN．
∴AD-AM=BC-CN，即 DM=BN．
∴四邊形BNDM是平行四邊形，
∴BM=DN，BM∥DN．
∴EM=DF，EM∥DF．
∴四邊形MEFD是平行四邊形．
∴EF=MD．
∵DM=AD-AM=AD-AB=7-4=3，
∴EF=DM=3．
分析：根據平行四邊形的性質和角平分線的定義先證明AM=AB=4，再利用已知條件證明四邊形BNDM是平行四邊形，進而得到BM=DN，BM∥DN，所以四邊形MEFD也是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質：對邊相等即可求出DM的長，所以也就求出EF的長．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定以及角平分線的定義，題目的難度中等．