Question

由小學的學習知道：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形為梯形．其中平行的一組對邊稱為底，不平行的一組對邊稱為腰．我們還將兩腰相等的梯形稱為等腰梯形．如圖②，△ABC≌△EDC，連接AE、BD．
（1）當B、C、D在一條直線上且∠ABC≠90°時，如圖①．證明：四邊形ABDE是等腰梯形；
（2）當B、C、D不在一條直線上且∠ABD≠90°時，如圖②．則四邊形ABDE還是等腰梯形嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據全等三角形性質得出AC=EC，∠ACB=∠DCE，∠ABC=∠EDC，推出∠EAC=∠AEC，求出∠EAC=∠ACB，推出AE∥BD，根據等腰梯形的判定推出即可．
（2）取BD中點G，連接AG、EG，根據全等三角形的性質得出BC=DC，∠ABC=∠EDC，求出∠ABG=∠EDG，證△ABG≌△EDG．推出AG=EG，∠AGB=∠EGD，得出∠GAE=∠GEA，求出∠AGB=∠GAE，推出AE∥BD，根據等腰梯形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC≌△EDC，
∴AC=EC，∠ACB=∠DCE，∠ABC=∠EDC，
∴∠EAC=∠AEC，
∵2∠ACB+∠ACE=2∠EAC+∠ACE=180°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BD，
∵∠ABC=∠EDC≠90°，
∴AB與ED不平行，
又∵AB=ED．
∴四邊形ABDE是等腰梯形．

（2）四邊形ABDE還是等腰梯形，
證明：取BD中點G，連接AG、EG．
∵△ABC≌△EDC
∴BC=DC，∠ABC=∠EDC，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABC+∠CBD=∠EDC+∠CDB，
即∠ABG=∠EDG，
在△ABG和△EDG中，

AB=DE ∠ABG=∠EDG BG=DG

∴△ABG≌△EDG（SAS）．
∴AG=EG，∠AGB=∠EGD，
∴∠GAE=∠GEA，
∵2∠AGB+∠AGE=2∠GAE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠GAE
∴AE∥BD，
∵∠ABC=∠EDC≠90°，
∴AB與ED不平行，
又∵AB=ED．
∴四邊形ABDE是等腰梯形．

點評：本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質的應用，注意：有兩腰相等的梯形是等腰梯形．