Question

如圖：已知在等邊三角形ABC中，點D、E分別是AC、CB延長線上的點，且CD=BE，連接DB并延長DB交AE于點F．
求證：DA²=DB•DF．

Answer 1

分析：欲證DA²=DB•DF，可證△ADB∽△FDA，通過觀察發現兩個三角形證∠DBA=∠DAF，∠ADB=∠FDA即可．

解答：證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠ABC，AB=BC，（1分）
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠DCB=∠EBA，（1分）
在△DCB與△EBA中，
∵

DC=EB ∠DCB=∠EBA AB=BC

，
∴△DCB≌△EBA，（2分）
∴∠DBC=∠EAB（，1分）
∵∠CBA=∠CAB，
∴∠CBA+∠DBC=∠CAB+∠EAB，
即∠DBA=∠DAF，（1分）
又∵∠ADB=∠FDA，
∴△ADB∽△FDA，（1分）
∴

DB

DA

=

DA

DF

，（1分）
∴DA²=DB•DF．（2分）

點評：本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比．