Question

【題目】根據題意解答
（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）閱讀下面的內容，并解決后面的問題： 如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數．
解：∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的結論得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P= （∠B+∠D）=26°．
①如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數，并說明理由．
②在圖4中，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論，無需說明理由．
③在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論，無需說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，

∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，

∵∠AOB=∠COD，

∴∠A+∠B=∠C+∠D

（2）解：①∠P=26゜．

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4

由（1）的結論得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B ②，

∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，

∴∠PAB=∠2，

∴∠2+∠P=∠3+∠B ③，

①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，

∴∠P= (∠B+∠D ）=26°．

②如圖4，

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，

在四邊形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，

在四邊形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，

∴2∠P+∠B+∠D=360°，

∴∠P=180°﹣ （∠B+∠D）；

③如圖5，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，

∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，

∴2∠P=180°+∠D+∠B，

∴∠P=90°+ （∠B+∠D）．

【解析】（1）根據三角形的內角和等于180°列式整理即可得證；（2）根據角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據（1）的結論列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根據（1）的結論列出等式并整理即可得解；②根據四邊形的內角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；③根據（1）的結論∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形的內角和外角(三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)，還要掌握三角形的外角(三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)的相關知識才是答題的關鍵．