Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中, 正方形OABC的邊長為2cm, 點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上, 拋物線y=a+bx+c經過點A、B,最低點為M，且＝

(1)求此拋物線的解析式.，并說明這條拋物線是由拋物線y=a怎樣平移得到的。
(2)如果點P由點A開始沿著射線AB以2cm/s的速度移動, 同時點Q由點B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點C移動，當其中一點到達終點時運動結束.
①在運動過程中，P、Q兩點間的距離是否存在最小值，如果存在，請求出它的最小值。
②當PQ取得最小值時, 在拋物線上是否存在點R, 使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是梯形? 如果存在, 求出R點的坐標, 如果不存在, 請說明理由.

Answer 1

（1）此拋物線由拋物線向右平移一個單位，再向下平移17/6個單位得到
（2）
①
②存在一點R1(2.4, －1.2)， R2(1.6, ) 滿足題意解析:
(1)求出頂點M（1，）  ………………………（1分）
求出拋物線的解析式為:   ……… (2分)
此拋物線由拋物線向右平移一個單位，再向下平移17/6個單位得到。（3分）
(2)①由圖象知: PB=, BQ= t
∴PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2      (0≤t≤2)…………………(4分)
=5t2－8t+4 =5(t)2 + (0≤t≤2)
∵5>0，且0≤t≤2∴當t=時, PQ2取得最小值………………………(5分)
此時，PQ=      (6分)       
或分成兩種情況討論：0≤t≤1或1<t≤2，若不分情況PB長寫成2-2t，扣一分。，
②假設存在點R, 可構成以P、B、R、Q為頂點的梯形.……  ……(7分)
這時PB=2="0.4, " BQ="0.8, " P(1.6, －2),  Q(2, －1.2)

R的橫坐標為1.6, 把x=1.6代入, 得y=,
∴這時存在R(1.6, )滿足題意             (9分)
C：假設BR∥PQ, 則:
直線PQ解析式：y=2x-5.2
直線BR解析式：y=2x-6
 
得到：或
經檢驗：上述兩解均不合題意，舍去（11分）
綜上所述, 存在一點R1(2.4, －1.2)， R2(1.6, ) 滿足題意. ……（12分)