Question

（2011•湛江）如圖，拋物線y=x²+bx+c的頂點為D（﹣1，﹣4），與y軸交于點C（0，﹣3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；
（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F為頂點的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，
解得：b=2，c=﹣3，
則解析式為：y=x²+2x﹣3；
（2）由題意結合圖形
則解析式為：y=x²+2x﹣3，
解得x=1或x=﹣3，
由題意點A（﹣3，0），
∴AC=，CD=，AD=，
由AC²+CD²=AD²，
所以△ACD為直角三角形；
（3）由（2）知ME取最大值時ME=，E（，﹣），M（，﹣），
∴MF=，BF=OB﹣OF=．
設在拋物線x軸下方存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形，
則BP∥MF，BF∥PM．
∴P₁（0，﹣）或P₂（3，﹣），
當P₁（0，﹣）時，由（1）知y=x²﹣2x﹣3=﹣3≠﹣，
∴P₁不在拋物線上．
當P₂（3，﹣）時，由（1）知y=x²﹣2x﹣3=0≠﹣，
∴P₂不在拋物線上．
綜上所述：拋物線x軸下方不存在點P，使以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

解析