Question

已知拋物線y=x²﹣2x+c與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（﹣1，0）．

（1）求D點的坐標；

（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數；

（3）如圖2，已知點P（﹣4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的坐標．

Answer 1

考點：

二次函數綜合題．

分析：

（1）將點A的坐標代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點D的坐標；

（2）連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，首先求得點C的坐標，然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根據∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；

（3）設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質求得ON的長，從而求得點N的坐標，進而求得直線PQ的解析式，

設Q（m，n），根據點Q在y=x²﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m²﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得點Q的坐標．

解答：

解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x²﹣2x+c得：1+2+c=0

∴c=﹣3

∴y=x²﹣2x﹣3=y=（x﹣1）²﹣4

∴頂點坐標為（1，﹣4）；

（2）如圖1，連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，

由x²﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3

∴B（3，0）

當x=0時，y=x²﹣2x﹣3=﹣3

∴C（0，﹣3）

∴OB=OC=3

∵∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

BC=3

又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，

∴∠FCD=45°，CD=，

∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．

∴∠BCD=∠COA

又∵

∴△DCB∽△AOC，

∴∠CBD=∠OCA

又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB

∴∠E=∠OCB=45°，

（3）如圖2，設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點

∵∠PMA=45°，

∴∠EMH=45°，

∴∠MHE=90°，

∴∠PHB=90°，

∴∠DBG+∠OPN=90°

又∴∠ONP+∠OPN=90°，

∴∠DBG=∠ONP

又∵∠DGB=∠PON=90°，

∴△DGB=∠PON=90°，

∴△DGB∽△PON

∴

即：=

∴ON=2，

∴N（0，﹣2）

設直線PQ的解析式為y=kx+b

則

解得：

∴y=﹣x﹣2

設Q（m，n）且n＜0，

∴n=﹣m﹣2

又∵Q（m，n）在y=x²﹣2x﹣3上，

∴n=m²﹣2m﹣3

∴﹣m﹣2=m²﹣2m﹣3

解得：m=2或m=﹣

∴n=﹣3或n=﹣

∴點Q的坐標為（2，﹣3）或（﹣，﹣）．

點評：

本題考查了二次函數的綜合知識，難度較大，題目中滲透了許多的知識點，特別是二次函數與相似三角形的結合，更是一個難點，同時也是中考中的常考題型之一．