Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點O在AB上，經過點A的⊙O與BC相切于點D，交AB于點E．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DE，OD．

∵BC相切⊙O于點D，

∴∠CDA=∠AED，

∵AE為直徑，

∴∠ADE=90°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACD=90°，

∴∠DAO=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵BC相切⊙O于點D，

∴∠ODB=90°，

∴OD=BD，∴∠BOD=45°，

設BD=x，則OD=OA=x，OB= x，

∴BC=AC=x+1，

∵AC2+BC2=AB2，

∴2（x+1）2=（ x+x）2，

∴x= ，

∴BD=OD= ，

∴圖中陰影部分的面積=S△BOD﹣S扇形DOE= ﹣ =1﹣

【解析】（1）連接DE，OD．利用弦切角定理，直徑所對的圓周角是直角，等角的余角相等證明∠DAO=∠CAD，進而得出結論；（2）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于點D，得到∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，設BD=x，則OD=OA=x，OB= x，根據勾股定理得到BD=OD= ，于是得到結論．