Question

【題目】已知點是等腰直角三角形斜邊上的中點，，是上一點，連結．

（1）如圖1，若點在線段上，過點作，垂足為，交于點，求證：；

（2）如圖2，若點在延長線上，，垂足為，交的延長線于點，其它條件不變，則結論“”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定得出Rt△BOE≌Rt△AOF，進而證明即可．

（2）根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定得出Rt△BOE≌Rt△AOF，進而解答即可．

（1）證明：∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=45°

又點O是AC邊上的中點，

∴∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45°

∴∠BAC=∠ABO，

∴OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF；

（2）OE=OF成立；

∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=45°

又點O是AC邊上的中點，

∴∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45°

∴∠BAC=∠ABO，

∴OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF