Question

已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，如圖1所示，試求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分線（即將一個角平均分成三等分的射線）相交于O，O₁，如圖2所示，試求∠BOC的大小；
（3）如此類推，若∠ABC和∠ACB的n等分線自下而上依次相交于O，O₁，O₂…，如圖3所示，試探求∠BOC的大小與n的關系，并判斷當∠BOC=170°時，是幾等分線的交線所成的角．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數，再根據角平分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數，從而不難∠BOC的大小．
（2）根據三角形內角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數，再根據三等分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數，從而不難∠BOC的大小．
（3）根據三角形內角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數，再根據n等分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數，從而不難探求∠BOC的大小與n的關系．

解答：解：∵∠BAC=100°，
∴∠ABC+∠ACB=80°，
（1）∵點O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點，
∴∠OBC+∠OCB=40°，
∴∠BOC=140°．

（2）∵點O是∠ABC與∠ACB的三等分線的交點，
∴∠OBC+∠OCB=

80

3

°，
∴∠BOC=

460

3

°．

（3）∵點O是∠ABC與∠ACB的n等分線的交點，
∴∠OBC+∠OCB=

80

n

°，
∴∠BOC=180°-

80

n

°．
當∠BOC=170°時，是八等分線的交線所成的角．

點評：此題主要考查三角形內角和定理和角平分線的應用，要熟記三角形的內角和為180°．