Question

【題目】如圖，在□ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，∠AEF的角平分線交AB于點M，∠EFC的角平分線交CD于點N，連接MF、NE．

（1）求證：四邊形EMFN是平行四邊形．

（2）小明在完成（1）的證明后繼續進行了探索，他猜想：當AB＝AD時，四邊形EMFN是矩形．請在下列框圖中補全他的證明思路．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中點）．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可得∠A=∠C，∠AEF＝∠CFE，AD=BC，根據角平分線的定義和中點的定義可得∠AEM＝∠CFN，AE＝CF，利用ASA即可證明△AME≌△CNF，可得EM＝FN，∠FEM＝∠FEN，根據內錯角相等可得EM//FN，即可證明四邊形EMFN是平行四邊形；（2）由AE=BF，AE//BF可得四邊形ABFE是平行四邊形，可得EF//AB，可得∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，由角平分線可得∠AEM=∠MEF，即可證明∠AEM=∠AME，可得AE=AM，由AB=AD可得M為AB中點，即可證明BM=BF，進而可得∠BMF=∠BFM，即可證明∠BFM=∠EFM，可得∠EFM+∠EFN=90°，可得四邊形EMFN是矩形．

(1)在□ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC

∵E、F分別是AD、BC的中點，

∴AE＝AD，CF＝BC，

又∵AD＝BC，

∴AE＝CF，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠CFE，

∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC，

∴∠AEM＝∠FEM＝∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝∠CFE，

∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝∠AEF，∠CFN＝∠CFE，

∴∠AEM＝∠CFN，

在△AME和△CNF中，

∴△AME≌△CNF（ASA），

∵∠FEM＝∠FEN，

∴EM∥FN，

∵△AME≌△CNF，

∴EM＝FN，

∵EM∥FN，EM＝FN，

∴四邊形EMFN是平行四邊形．

（2）∵AE=BF，AE//BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴AB//EF，

∴∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，

∵∠AEM=∠MEF，

∴∠AEM=∠AME，

∴AE=AM，

∵E為AD中點，AB=AD，

∴M為AB中點，即AM=BM，

∵AE=BF，

∴BM=BF，

∴∠BMF=∠BFM，

∴∠BFM=∠EFM，

∵∠EFN=∠CFN，

∴∠EFM+∠EFN=90°，即∠MFN=90°，

∴四邊形EMFN是矩形．

故答案為：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中點）．