Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A（1，0），對稱軸方程是x=3，頂點為B，直線y=kx+m經過A、B兩點，它與坐標軸圍成的三角形的面積為2，求一次函數y=kx+m和二次函數y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

解：設直線y=kx+m與y軸交于C點，則S_△AOC=×OA×OC=2，
又OA=1，解得OC=4，
∴m=4或-4，
①當m=4時，將A（1，0）代入y=kx+4中，得k=-4，
∴y=-4x+4，
當x=3時，y=-4x+4=-8，即拋物線頂點坐標為（3，-8），
設拋物線解析式為y=a（x-3）²-8，將A（1，0）代入，得a=2，
∴y=2（x-3）²-8，即y=2x²-12x+10；
②當m=-4時，將A（1，0）代入y=kx-4中，得k=4，∴y=4x-4，
當x=3時，y=4x-4=8，即拋物線頂點坐標為（3，8），
設拋物線解析式為y=a（x-3）²+8，將A（1，0）代入，得a=-2，
∴y=-2（x-3）²+8，即y=-2x²+12x-10；
故一次函數與二次函數解析式分別為y=-4x+4，y=2x²-12x+10或y=4x-4，y=-2x²+12x-10．
分析：設直線y=kx+m與y軸交于C點，則S_△AOC=2，且OA=1，可求OC，分C點在y軸正半軸和負半軸兩種情況，分別求直線AC的解析式，再根據頂點的橫坐標為3，求頂點的縱坐標，設拋物線的頂點式，將A（1，0）代入，求拋物線解析式．
點評：本題考查了用待定系數法求二次函數解析式的方法．關鍵是根據條件確定拋物線解析式的形式，再求其中的待定系數．一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；頂點式y=a（x-h）²+k，其中頂點坐標為（h，k）；交點式y=a（x-x₁）（x-x₂），拋物線與x軸兩交點為（x₁，0），（x₂，0）．