Question

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某數學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁、S₂，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）如圖2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分線交AB于點D，請問點D是否是AB邊上的黃金分割點，并證明你的結論；
（2）若△ABC在（1）的條件下，如圖3，請問直線CD是不是△ABC的黃金分割線，并證明你的結論；
（3）如圖4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，對角線AC、BD交于點F，延長AB、DC交于點E，連接EF交梯形上、下底于G、H兩點，請問直線GH是不是直角梯形ABCD的黃金分割線，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）點D是AB邊上的黃金分割點．理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°．
∵CD是角平分線，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD．
∵∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD．
∴BC=AD．
在△BCD與△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，
∴△BCD∽△BCA，
∴，
∴，
∴點D是AB邊上的黃金分割點．

（2）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：
設△ABC中，AB邊上的高為h，則S_△ABC=AB•h，S_△ACD=AD•h，S_△BCD=BD•h．
∴S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD．
由（1）知，點D是AB邊上的黃金分割點，，
∴S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，
∴CD是△ABC的黃金分割線．

（3）直線不是直角梯形ABCD的黃金分割線．理由如下：
∵BC∥AD，
∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，
∴，，
∴，即 ①
同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：
，即 ②
由①、②得：，
∴AH=HD，
∴BG=GC．
∴梯形ABGH與梯形GCDH上下底分別相等，高也相等，
∴S_梯形ABGH=S_梯形GCDH=S_梯形ABCD．
∴GH不是直角梯形ABCD的黃金分割線．
分析：（1）證明AD=CD=BC，證明△BCD∽△BCA，得到，則有，所以點D是AB邊上的黃金分割點；
（2）證明S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，直線CD是△ABC的黃金分割線；
（3）根據相似三角形比例線段關系，證明BG=GC，AH=HD，則梯形ABGH與梯形GCDH上下底分別相等，高也相等，S_梯形ABGH=S_梯形GCDH=S_梯形ABCD，所以GH不是直角梯形ABCD的黃金分割線．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、含36°角的等腰三角形、黃金分割、直角梯形等知識點．試題難度不大，理解題中給出的黃金分割點、黃金分割線的概念是正確解題的基礎．