Question

已知拋物線y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n為常數)． (1) 當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數關系式； (2) 設A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C． ①當BC＝1時，求矩形ABCD的周長； ②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值?如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

由已知條件，得n2－1＝0，解這個方程，得n1＝1，n2＝－1．當n＝1時，得y＝x2＋x，此拋物線的頂點不在第四象限；當n＝－1時，得y＝x2－3x，此拋物線的頂點在第四象限．所以拋物線所對應的函數關系式為y＝x2－3x．

(2)

解：由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得xl＝0，x2＝3，所以拋物線與x軸的另一個交點為(3，0)，所以它的頂點為，對稱軸為直線x＝，其大致位置如圖所示． 　　①因為BC＝1，由拋物線和矩形的對稱性易知OB＝×(3－1)＝1，所以B(1，0)，所以點A的橫坐標x＝1，又因為點A在拋物線y＝x2－3x上，所以點A的縱坐標y＝12－3×1＝－2，所以AB＝｜y｜＝｜－2｜＝2，所以矩形ABCD的周長為2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6． 　　②因為點A在拋物線y＝x2－3x上，故可設A點的坐標為(x，x2－3x)，所以B點的坐標為(x，0)(0＜x＜)，所以BC＝3－2x，A在x軸下方，所以x2－3x＜0，所以AB＝｜x2－3x｜＝3x－x2，所以矩形ABCD的周長P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－)2＋．因為a＝－2＜0，所以當x＝時，矩形ABCD的周長P的最大值為． 　　解題指導：(1)拋物線經過原點，則可將點(0，0)代人函數表達式；再根據頂點在第四象限則可確定函數的表達式． 　　(2)將矩形ABCD的周長表示出來，再根據其特點求出最大值．