Question

工人師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長60cm的正方形板材；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板材（如下圖①）．工人師傅想將這兩塊板材裁成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板材疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板材的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區域（如圖②）．由于受材料紋理限制，要求裁出的矩形要以點B為一個頂點．
（1）利用圖②，求FC的長；
（2）如圖③，若矩形的一個頂點P在線段EF上，P點到BG的距離為PN，試證明：；
（3）利用圖③，求頂點B所對的頂點P到BC的距離PN為多少時，矩形PMBN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

（1）解：根據題意，ED=60-30=30cm，CG=120-60=60cm，
∵正方形的對邊平行，
∴AD∥BG，
∴=，
即==，
又∵CD=60cm，
∴FC=×60=40cm；

（2）證明：∵P點到BG的距離為PN，
∴PN⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴△GCF∽△GPN，
∴=，
即==；

（3）解：設BN為x，則NG=120-x，
根據（2）可得，PN=NG=（120-x），
∴矩形PMBN的面積=BN•PN=x•（120-x）=-（x²-120x）=-（x-60）²+2400，
∴當x=60時，矩形PMBN的面積最大，
此時PN=（120-x）=（120-60）=40cm，
最大面積值是2400cm²．
分析：（1）先求出ED、CG的長度，然后根據相似三角形對應邊成比例求出DF與FC的比，再根據CD=60cm即可求解；
（2）先求出CG的長度，然后根據相似三角形對應邊成比例可得=，然后代入數據計算即可得證；
（3）設BN為x，則NG=120-x，根據（2）的結論表示出PN的長度，然后利用矩形的面積公式列式，再根據二次函數的最值問題解答．
點評：本題考查了直角梯形，正方形的性質，相似三角形的對應邊成比例，二次函數的最值問題，綜合性較強，但難度不是很大．