Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線AQ交BC于點P，交⊙O于點Q．已知AC=6，∠AQC=30度．
（1）求AB的長；
（2）求點P到AB的距離；
（3）求PQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據同弧所對的圓周角相等和直徑所對的圓周角時90度，確定△ABC是有一個角為90度的直角三角形，進而求出AB的長；
（2）根據角平分線的性質，求出△APB為等腰三角形，根據等腰三角形三線合一，PO的長即為點P到AB的距離；
（3）連接OP，根據角平分線和等腰三角形的性質，求出PQ=CP=PO=2．
解答：解：（1）因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90度．
又因為∠ABC=∠AQC=30°，AC=6，則AB=12．

（2）由（1）可知∠BAC=60°，AO=6，由于AQ是∠BAC的平分線，
所以∠CAQ=∠BAQ=30°，則有∠BAQ=∠ABC=30°，
所以△APB是等腰三角形．
連接PO，則PO就是點P到AB的距離．
在Rt△AOP中，PO=AO•tan30°=2．
故所求點P到AB的距離為2．

（3）因為∠BCQ=∠BAQ=30°，
∴∠AQC=∠BCQ，則PQ=CP，
由于AP是∠BAC的平分線，∠ACP=∠AOP=90°，
所以CP=PO=2，那么PQ=2．
點評：此題將解直角三角形、角平分線的性質、等腰三角形的性質及圓周角定理有機結合起來，是一道好題．