Question

已知二次函數y=x²-（m-2）x+m的圖象經過（-1，15），
（1）求m的值；
（2）設此二次函數的圖象與x軸的交點為A、B，圖象上的點C使△ABC的面積等于1，求C點的坐標；
（3）當△ABC的面積大于3時，求點C橫坐標的取值范圍？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數y=x²-（m-2）x+m的圖象經過（-1，15），得出m的值即可；
（2）將（1）中m的值，得出二次函數解析式，即可得出與x軸的交點坐標，進而得出C點的坐標；
（3）由（2）得出：當△ABC的面積大于3時，即x²-6x+8＞3，即可得出答案．
解答：解：（1）∵二次函數y=x²-（m-2）x+m的圖象經過（-1，15），
∴代入解析式得：15=1-（m-2）×（-1）+m，
解得：m=8；

（2）∵m=8，
∴二次函數解析式為y=x²-6x+8，
與x軸交點坐標為：0=x²-6x+8，
∴x₁=2，x₂=4，
∴此二次函數的圖象與x軸的交點為A（2，0）、B（4，0），
∵圖象上的點C使△ABC的面積等于1，
∴當C在x軸上方是：×AB×C′F=1，
∵AB=1，
∴C′F=1，
∴1=x²-6x+8，
∴x=3，
C′（3+，1），C″（3-，1），
當C在頂點坐標時C（3，-1）；

（3）由（2）得出：
當△ABC的面積大于3時，
∴x²-6x+8＞3，
當x²-6x+8=3時，
x₁=1，x₂=5，
∴x²-6x+8＞3時，
∴x＜1或x＞5，
∴點C橫坐標的取值范圍：x＜1或x＞5．
點評：此題主要考查了圖象上點的性質以及三角形面積求法和數形結合求二次不等式解集，利用數形結合得出不等式的解集是解決問題的關鍵．