Question

將兩塊直角三角板如圖1放置，等腰直角三角板ABC的直角頂點是點A，AB=AC=3，直角板EDF的直角頂點D在BC上，且CD：BD=1：2，∠F=30°．三角板ABC固定不動，將三角板EDF繞點D逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°）．

（1）當α=

30°

時，EF∥BC；
（2）當α=45°時，三角板EDF繞點D逆時針旋轉至如圖2位置，設DF與AC交于點M，DE交AB于點N，求四邊形ANDM的面積．
（3）如圖3，設CM=x，四邊形ANDM的面積為y，求y關于x的表達式（不用寫x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠MDC=∠F，再根據旋轉的性質可得旋轉角α=∠MDC；
（2）根據旋轉的性質可得∠MDC=α=45°，再根據等腰直角三角形的性質可得∠C=45°，然后求出∠DMC=90°，同理可求∠DNA=90°，然后求出四邊形ANDM是矩形，再根據△DMC和△BAC相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出DM=1，同理求出DN=2，最后根據矩形的面積公式列式計算即可得解；
（3）過點D作DG⊥AC于G，作DH⊥AB于H，根據同角的余角相等求出∠NDH=∠MDG，然后求出△NDH和△MDG相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出NH=2MG，然后表示出MG，再表示出BN，最后根據四邊形ANDM的面積y=S_△ABC-S_△CDM-S_△BDN列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴∠MDC=∠F，
∴旋轉角α=30°；

（2）當α=45°時，∠MDC=α=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴∠DMC=180°-∠MDC-∠C=180°-45°-45°=90°，
同理可求∠DNA=90°，
又∵∠A=90°，
∴四邊形ANDM為矩形；
∴DM∥AB，
∴△DMC∽△BAC，
∴

DM

AB

=

CD

CB

，
∵CD：BD=1：2，
∴

CD

CB

=

1

1+2

=

1

3

，
∵AB=3，
∴DM=1，
同理可求DN=2，
∴S_{四邊形ANDM}=1×2=2；

（3）如圖3，過點D作DG⊥AC于G，作DH⊥AB于H，
∵∠NDH+∠HDM=∠EDF=90°，
∠MDG+∠HDM=∠HDG=90°，
∴∠NDH=∠MDG，
又∵∠NHD=∠MGD=90°，
∴△NDH∽△MDG，
∴

NH

MG

=

DH

DG

，
由（2）可知DH=2，DG=1，
∴NH=2MG，
∵DG⊥AC，∠C=45°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴CG=DG=1，
∵CM=x，
∴MG=x-1，
∴NH=2（x-1），
∴BN=AB-AH-NH=3-1-2（x-1）=4-2x，
四邊形ANDM的面積y=S_△ABC-S_△CDM-S_△BDN
=

1

2

×3×3-

1

2

x•1-

1

2

×2×（4-2x）
=

3

2

x+

1

2

．

點評：本題考查了相似形綜合題型，主要利用了平行線的性質，旋轉的性質，矩形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，（3）難度較大，作輔助線，構造出相似三角形與矩形是解題的關鍵，也是本題的難點．