Question

如圖，△ABC中，∠C=30°，以AB為直徑的圓O經過BC邊上的點D，且∠AOD=120°．
（1）求證：AC是圓O的切線；
（2）若CD=6，點E是半圓上一點，且sin∠BAE=，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AC是圓O的切線，只要證明∠CAB=90°即可；
（2）根據已知及三角函數求出AB的長，再根據勾股定理求得AE的長．
解答：（1）∵∠DOA=2∠DBO=120°，
∴∠DBO=60°，
∵∠C=30°，
∴∠CAB=90°，
∴AC是圓O的切線；

（2）∵∠C=30°，
∴2AB=BC=4OB；
∵∠DBO=60°，OD=OB，
∴△ODB為等邊三角形，
∴DB=OB，
∴CD=3OB=6，
∴OB=2，AB=4；
∵AB中直徑
∴∠E=90°
∵sin∠BAE=，AB=4，
∴BE=1，
∴AE=．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．