Question

如圖1，y=x+1交x軸于A，交y軸于B，C（m，m）是直線AB上一點，反比例函數y=經過C點
（1）求C點坐標及反比例函數解析式；
（2）如圖2，D為反比例函數上一點，以CB，CD為邊作平行四邊形BCDE，問四邊形BCDE能否是正方形？如果能，求出D點和另一頂點E的坐標；如果不存在，說明理由；
（3）如圖3，過C點任作一直線，P為該直線上一點，滿足∠BPE=135°，求證：PC-PE=PB．

Answer 1

解：（1）∵y=x+1交x軸于A，交y軸于B，
y=x+1交x軸于A，
∴0=x+1，
解得：x=-2，
A點的坐標為：（-2，0），
∵y=x+1交y軸于B，
∴y=1，
∴B點的坐標為：（0，1），
∵C（m，m）是直線AB上一點，
∴m=m+1，
解得：m=2，
C點的坐標為：（2，2），
∴反比例函數解析式為：y=；

（2）∵C點的坐標為：（2，2），
B點的坐標為：（0，1），
∴BC=，
當CD=，
∴D點的坐標為：（1，4），
代入y=，得出，（1，4）正好在函數圖象上，
∴E點的坐標為：（-1，3）；

（3）將△BPE繞點B順時針旋轉90°到△BMC，連接PM，
∵△BPM是等腰直角三角形，又∠BMC=135°，
∴C，M，P三點共線，
∴PC-PE=PM=BP，
即PC-PE=PB．
分析：（1）首先求出一次函數與坐標軸的交點坐標，進而求出C點的坐標，從而得出反比例函數的解析式；
（2）利用兩點之間距離公式，求出BC的長進而得出CD的長，進而求出E點的坐標；
（3）利用三角形旋轉的性質得出C，M，P三點共線，即PC-PE=PM=BP．
點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用，利用三角形相似求出對應邊之間的大小關系進而得出CF=PB是解決問題的關鍵．