Question

已知：在△ABC中，∠CAB=，且，AP平分∠CAB．

1.（1）如圖1，若，∠ABC=32°，且AP交BC于點P，試探究線段

AB，AC與PB之間的數量關系，并對你的結論加以證明；

答：線段AB，AC與PB之間的數量關系為：___________________________．

2.（2）如圖2，若∠ABC=，點P在△ABC的內部，且使∠CBP=30°，

求∠APC的度數（用含的代數式表示）．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1） AB－AC= PB；   --------------------------1分

            證明：在AB上截取AD，使AD=AC．（如圖7）

∵AP平分∠CAB，

∴∠1=∠2．

在△ACP和△ADP中，

                 AC =AD，

                 ∠1 =∠2，

                 AP=AP，

∴△ACP≌△ADP．  

∴∠C =∠3．

∵△ABC中，∠CAB==2×21°=42° ，∠ABC=32°，

∴∠C =180°－∠CAB－∠ABC =180°－42°－32° = 106°．

∴∠3 =106°．   -----------------------2分

∴∠4 =180°－∠3=180°－106°=74°，

  ∠5 =∠3－∠ABC=106°－32°=74°．

∴∠4 =∠5．

∴PB=DB．

∴AB－AC= AB－AD=DB=PB． 

2.（2）方法一：延長AC至M，使AM=AB，連接PM，BM．（如圖8） 

∵AP平分∠CAB，∠CAB=，

∴∠1=∠2==．

在△AMP和△ABP中，

            AM =AB，

            ∠1 =∠2，

            AP=AP，

∴△AMP≌△ABP．  

∴PM=PB，∠3 =∠4．  

∵∠ABC=60°－，∠CBP=30°，

∴∠4=(60°－)－30° =30°－．

∴∠3 =∠4 =30°－．   ------------------------4分

∵△AMB中，AM=AB，

∴∠AMB=∠ABM =(180°－∠MAB)÷2 =(180°－)÷2 =90°－．

∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－)－(30°－)=60°．

∴△PMB為等邊三角形．  

∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－)－(60°－)=30°，

∴∠6=∠CBP．

∴BC平分∠PBM．

∴BC垂直平分PM．

∴CP=CM．

∴∠7 =∠3 = 30°－．--------------------5分

∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－)＋(30°－)=60°－．

∴△ACP中，∠APC=180°－∠1－∠ACP

=180°－－(60°－)

=120°＋．   ----------------6分

 

方法二：在AB上截取AM，使AM=AC，連接PM，延長AP交BC于N，連接MN．（如圖9） 

∵AP平分∠CAB，∠CAB=，

∴∠1=∠2==．

在△ACN和△AMN中，

            AC =AM，

            ∠1 =∠2，

            AN=AN，

∴△ACN≌△AMN．  

∴∠3 =∠4．  

∵∠ABC=60°－，

∴∠3=∠2＋∠NBA=＋(60°－) =60°．

∴∠3 =∠4 =60°．

∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．

∴∠4 =∠5．   ---------------------------4分

∴NM平分∠PNB．

∵∠CBP=30°，

∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°．

∴∠6=∠NBP．

∴NP=NB．

∴NM垂直平分PB．

∴MP=MB．

∴∠7 =∠8．

∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8，

即∠NPM=∠NBM =60°－．   ------------------5分

∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－)=120°＋．

在△ACP和△AMP中，

            AC =AM，

            ∠1 =∠2，

            AP=AP，

∴△ACP≌△AMP．  

∴∠APC=∠APM ． 

∴∠APC=120°＋．   --------------------6分

閱卷說明：其他正確解法相應給分

【解析】略