Question

已知一個直角三角形紙片，其中．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊交于點，與邊交于點．

（Ⅰ）若折疊后使點與點重合，求點的坐標；

 

（Ⅱ）若折疊后點落在邊上的點為，設，，試寫出關于的函數解析式，并確定的取值范圍；

 

（Ⅲ）若折疊后點落在邊上的點為，且使，求此時點的坐標．

 

Answer 1

解（Ⅰ）如圖①，折疊后點與點重合，

則.

設點的坐標為.

則.

于是.

在中，由勾股定理，得，

即，解得.

點的坐標為.

（Ⅱ）如圖②，折疊后點落在邊上的點為,

 

則.

由題設，

則，

在中，由勾股定理，得.

，

即

由點在邊上，有，

  解析式為所求.

  當時，隨的增大而減小，

的取值范圍為.

（Ⅲ）如圖③，折疊后點落在邊上的點為，且.

則.

又，有.

.

有，得.

在中，

設，則.

由（Ⅱ）的結論，得，

解得.

點的坐標為.