Question

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，∠A=36º，AC=BC，AC²＝AB?AD． （1）試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；

（2）若AB=1，求AC的值；

（3）試構造一個等腰梯形，該梯形連同它的兩條對角線，得到了8個三角形，要求構造出的圖形中有盡可能多的等腰三角形．（標明各角的度數）

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AC＝BC，

∴ ∠B＝∠A＝36°，∠ACB＝108°.

在△ABC與△CAD中，∠A＝∠B＝36°；

∵ AC=AB?AD，

∴

∴ △ABC∽△CAD，

∴ ∠A CD＝∠A＝36°．

∴ ∠CDB＝72°，∠DCB＝108°－36°=72°．

∴ △ADC和△BDC都是等腰三角形．

（2）設AC=，則，即．

解得 ，（負根舍去）．

（3）說明：按照畫出的梯形中，有4個，6個和8個等腰三角形三種情況分別給分．　

①有4個等腰三角形得1分；

②有6個等腰三角形，得2分；

③有8個等腰三角形，得3分．