Question

（2004•淄博）四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，AD=，高DE=2．建立如圖所示的平面直角坐標系，其中點A與坐標原點O重合．
（1）求BC邊所在直線的解析式；
（2）設點F為直線BC與y軸的交點，求經過點B，D，F的拋物線解析式；
（3）判斷?ABCD的對角線的交點G是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意不難得出B點的坐標，因此本題的關鍵是求出C點的坐標，可過C作CH⊥x軸于H，可在直角三角形CBH中，根據CH和BC的長求出BH的長，也就求出了OH的長，由此可得出C點的坐標，然后用待定系數法即可求出直線BC的解析式；
（2）仿照（1）求C點坐標的方法不難得出D點的坐標，而F點的坐標可用直線BC的解析式求得，由此可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）過G作x軸的垂線GM，根據平行四邊形的對角線互相平分，不難得出GM是△ACH的中位線，因此G點的橫坐標是C點橫坐標的一半，縱坐標是C點縱坐標的一半，然后將G點的坐標代入拋物線中，即可判斷出G點是否在拋物線上．
解答：解：（1）過點C作CH⊥x軸于H，
在Rt△BCH中，BC=AD=，CH=DE=2，
∴BH==1，
又∵AB=3，
∴AH=AB+BH=4．
∴B（3，0），C（4，2）．
設BC所在直線的解析式為y=kx+b，
將B（3，0），C（4，2）代入得，
解得k=2，b=-6，
∴BC邊所在直線的解析式為y=2x-6；（3分）

（2）在Rt△ADE中，AE=1，
∴D（1，2），
設點F（0，b），代入y=2x-6，得b=-6，
∴F（0，-6）．
設經過點B，D，F的拋物線為y=ax²+bx+c，
由題意，得，
解得a=-3，b=11，c=-6．
∴拋物線的解析式為y=-3x²+11x-6；

（3）?ABCD對角線的交點G不在（2）中的拋物線上．
連接AC、BD相交于G，過G作GM⊥x軸于M，則GM∥CH∥DE．
∵AG=GC，
∴AM=MH=AH=2，GM=CH=1，
∴點G（2，1）．
把x=2，代入y=-3x²+11x-6，得y=4≠1，
∴點G（2，1）不滿足y=-3x²+11x-6，
即（2）中的拋物線不經過□ABCD的對角線的交點．
點評：本題著重考查了待定系數法求一次函數和二次函數解析式、平行四邊形的性質、勾股定理、中位線定理等知識點，綜合性較強．